Documents de méthodologie
Pour l'instant ces documents de méthodologie ne concernent que l'intersection des programmes de MP et PSI (de fait, cela contient strictement le programme de PC également, du moins pour ce que j'en sais). Je les mettrai progressivement à jour pour couvrir également les aspects spécifiques au programme de MP.
Il y a un document de méthodologie par chapitre. La table des matières est toujours reléguée à la fin du document, suivant l'usage typographique français. Si la longueur d'un document vous effraie ou que seule une partie vous intéresse, vous pouvez lire les documents extraits. Mais en faisant cela, vous perdez les correspondances entre les différentes parties.
On ne négligera pas le prime conseil de méthodologie en analyse: savoir bien majorer. Consulter L'art de la majoration à cet effet.
Algèbre linéaire, document complet
- Indépendance linéaire.
- Décompositions en somme directe.
- Utilisation de la notion de dimension.
- À quoi servent les isomorphismes d'espaces vectoriels?
- Les hyperplans: équations et applications.
Arithmétique des entiers et polynômes
| Arithmétique des entiers et polynômes | ||
| Le document complet. | Version MP | |
| Arithmétique modulaire. | Version MP | |
| Utilisation des relations de Bézout. | Version MP | |
| Équations diophantiennes: quelques pistes. | Version MP | |
| Polynômes irréductibles et minimaux, nombres algébriques. | Version MP | |
| Calcul de sommes de nature arithmétique. | Version MP | |
Calcul différentiel, document complet
- Comment calculer une limite: cas problématiques sur Rp. Montrer la classe C1 d'une fonction de plusieurs variables.
- Règle de la chaîne.
- Recherche des extremums.
Équations différentielles linéaires, document complet
- Compléments sur les équations différentielles linéaires vues en 1re année.
- Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients non constants.
- Équations fonctionnelles se ramenant à des équations différentielles.
- Le théorème de Cauchy linéaire : comment utiliser l'unicité des solutions.
- Utilisation du wronskien.
Espaces préhilbertiens et euclidiens, document complet
| Espaces préhilbertiens et euclidiens | ||
| Détermination des isométries. Exercices théoriques sur les isométries du plan et de l'espace. | MP | PSI |
- Produit scalaire, et norme euclidienne.
- L'importance des bases orthonormées.
- Minimisation de distance.
- Utilisation des endomorphismes autoadjoints.
Fonctions vectorielles, document complet
Intégration
| Intégration | ||
| Le document complet. | MP | PSI |
| Étudier la nature d'une intégrale. Comparer aux intégrales de Riemann en pratique. Natures d'intégrales obtenues par comparaison à des séries. | MP | PSI |
| L'intégration par parties. | Version unique | |
| Comment vérifier l'hypothèse de domination? | Version unique | |
| Limites et développements limités, asymptotiques d'intégrales. | MP | PSI |
| Étude des intégrales où les bornes dépendent d'une variable. | Version unique | |
| Sommes de Riemann. | MP | PSI |
| Les différentes techniques d'approximation des intégrales. | Version MP | |
Polynômes et fractions rationnelles
- Raisonnements sur les racines.
- Décomposition en éléments simples.
- Application des polynômes de Lagrange en algèbre linéaire.
Probabilités, document complet
- Dénombrement : révisions de 1re année.
- Comment calculer une probabilité.
- Deux applications fréquentes de la formule des probabilités totales.
- Cadre d'application de la formule de Bayes.
- Penser à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et correctement l'utiliser.
- Contredire l'indépendance de deux variables aléatoires.
- Fonctions génératrices: cas où elles prévalent.
Réduction des endomorphismes
| Réduction des endomorphismes | ||
| Le document complet. | MP | PSI |
| Diagonalisation d'une matrice explicite. Cas des matrices compagnons et applications. | MP | PSI |
| Diagonalisation d'un endomorphisme abstrait. Endomorphismes n'ayant qu'une valeur propre, de rang 1, transvections, matrices par blocs, etc. | MP | PSI |
| Trigonalisation ou décomposition de Dunford explicite. | MP | PSI |
| Calcul des puissances d'une matrice, par réduction ou par division euclidienne. | Version unique | |
| Réduction à l'aide d'un polynôme annulateur: cas subtils (polynôme non scindé). | MP | PSI |
| Applications de la réduction. | MP | PSI |
| Utiliser la décomposition de Dunford. | Version MP | |
| Application des polynômes de Lagrange en algèbre linéaire: calcul de puissances, relations de commutation, projecteurs spectraux. | MP | PSI |
Séries entières
| Séries entières | ||
| Le document complet. | MP | PSI |
| Calcul du rayon de convergence. | MP | PSI |
| Applications des séries entières (calcul de sommes, équations différentielles, étude de suites, etc.). | MP | PSI |
| Développer en série entière. | MP | PSI |
| À quoi servent les produits de Cauchy? | Version unique | |
| Utilisation de la formule intégrale de Cauchy. | MP | PSI |
| Les séries entières et le prolongement des identités. | Version unique | |
Séries numériques
| Séries numériques | ||
| Le document complet. | MP | PSI |
| Étudier la nature d'une série. Comparer aux séries de Riemann en pratique. Cas des séries alternées. Comparaison série-intégrale. | Version unique | |
| Calculer la somme d'une série convergente. | MP | PSI |
| Donner une valeur approchée de la somme d'une série; encadrement du reste. | Version unique | |
| Étudier des suites en passant par des séries télescopiques. | MP | PSI |
| Utiliser la transformation d'Abel. | MP | PSI |
Structures algébriques
| Structures algébriques | ||
| Le document complet. | Version MP | |
| Reconnaître et exploiter les structures. | Version MP | |
| Sommes et produits dans les groupes commutatifs. | Version MP | |
| Comment utiliser le théorème de Lagrange. | Version MP | |
| Isomorphismes de groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels. | Version MP | |
| Groupes finis munis d'une structure d'espace vectoriel. | Version MP | |
| Le principe de conjugaison. | Version MP | |
| Actions de groupe. | Version MP | |
Suites et séries de fonctions, document complet
| Suites et séries de fonctions | ||
| Le document complet. | MP | PSI |
| Convergence uniforme d'une suite de fonctions. | MP | PSI |
| Convergence uniforme d'une série de fonctions. | Version unique | |
| Séries de fonctions et comparaison entre série et intégrales. | MP | PSI |
| Théorèmes d'interversion: retrouver les hypothèses, savoir lesquels utiliser. | MP | PSI |
| Équivalents et développements asymptotiques de sommes de séries de fonctions. | Version unique | |
Suites récurrentes, document complet
- Relations de récurrence de la forme un+1 = f(un).
- Relations de récurrence dépendant de n (explicitation).
Topologie, document complet
- Étude d'une norme.
- Montrer qu'une partie d'un espace vectoriel normé est bornée.
- Montrer qu'une partie est fermée, ouverte, convexe. À quoi cela sert-il?
- Continuité d'une application sur un espace vectoriel normé.