La Banque des Cent
Dernière mise à jour: le samedi 9 septembre.
Vous trouverez sur cette page une banque d'exercices très classiques et variés (mais qui, dans l'ensemble, sont davantages calculatoires que conceptuels). Les énoncés et les corrigés ont certes été rédigés par votre serviteur, mais avec l'aide de SageMath (et du paquet SageTeX) pour engendrer aléatoirement de nouvelles constantes et fonctions à chaque exercice. Cette explication est pour vous mettre en garde: le corrigé est rédigé uniformément, sans tenir compte des simplifications apparaissant dans certains cas particuliers. Il ne propose donc pas toujours la résolution la plus efficace.
Cette explication vous permet également de comprendre pourquoi le corrigé propose parfois des expressions très alambiquées pour des quantités pourtant simples: par exemple la machine préférera souvent écrire √a/a plutôt que 1/√a, même quand c'est une très mauvaise idée. Ne l'imitez pas dans ces cas-là.
J'espère néanmoins que ces exercices pourront servir aux étudiants désireux d'améliorer leur habileté calculatoire, ou aux professeurs en manque de variété pour un type d'exercice précis (pour préparer les exercices d'une colle par exemple).
Les banques suivies d'une astérisque (*) sont celles dont je suis susceptible d'enrichir la variété des exercices à court ou moyen terme.
| Algèbre linéaire | |
| Inverser une matrice avec la méthode du pivot. Trouver des bases de l'image et du noyau d'une matrice en même temps, par la méthode du pivot. Résoudre un système linéaire avec la méthode du pivot. Donner la matrice d'un endomorphisme relativement à une base non canonique. Expliciter la matrice d'un projecteur ou d'une symétrie dont on connaît les caractéristiques géométriques, ou réciproquement. Calculer les puissances d'une matrice triangulaire avec la formule du binôme. Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice. Diagonaliser une matrice. Trouver le spectre d'une matrice sans calculer le polynôme caractéristique. Calculer les puissances d'une matrice diagonalisable (guidé). Calculer les puissances d'une matrice diagonalisable (non guidé). Calculer les puissances d'une matrice triangulable (guidé). Calculer les puissances d'une matrice triangulable (non guidé). Calculer les puissances d'une matrice grâce à une division par un polynôme annulateur (guidé). Calculer les puissances d'une matrice grâce à une division par un polynôme annulateur (non guidé). Calculer les puissances d'une matrice grâce aux polynômes interpolateurs de Lagrange (guidé). Calculer les puissances d'une matrice grâce aux polynômes interpolateurs de Lagrange (non guidé). Calculer les puissances d'une matrice sans suggestion de l'énoncé. Réduire un endomorphisme à l'aide d'un polynôme annulateur qui n'est pas scindé à racines simples (guidé). Réduire un endomorphisme à l'aide d'un polynôme annulateur qui n'est pas scindé à racines simples (non guidé). Résolution de l'équation matricielle M²=A en raisonnant sur les sous-espaces stables de A (guidé). Résolution de l'équation matricielle M²=A en raisonnant sur les sous-espaces stables de A (non guidé). |
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| Arithmétique | Trouver une relation de Bezout. Inverser un entier modulo n. Résoudre un système linéaire de congruences. | Les cent exercices Les cent exercices Les cent exercices |
| Équations différentielles linéaires | Résoudre une équation différentielle d'ordre 1. Résoudre une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants. (*) Résoudre une équation différentielle d'ordre 2 avec la méthode de l'abaissement de l'ordre. Résoudre une équation différentielle d'ordre 2 avec un changement de variable ou de fonction inconnue. Déterminer les solutions développables en série entière d'une équation différentielle (guidé). Déterminer les solutions développables en série entière d'une équation différentielle (non guidé). Résoudre une équation différentielle d'ordre 3 à coefficients constants. Résoudre une équation différentielle d'ordre 3 à coefficients constants à l'aide de noyaux supplémentaires (guidé). Résoudre un système différentiel à coefficients constants, cas diagonalisable. Résoudre un système différentiel, cas subtils: non diagonalisable, second membre, coefficients non constants (guidé). Résoudre un système différentiel, cas subtils: non diagonalisable, second membre, coefficients non constants (non guidé). Raisonner sur la parité des fonctions pour ramener une équation fonctionnelle à des équations différentielles classiques. |
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| Espaces préhilbertiens et euclidiens | Vérifier qu'une forme bilinéaire sur R² est un produit scalaire. Utiliser l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Expliciter une symétrie ou projection orthogonale sur une droite, sur un plan. Calcul de la distance à un plan ou à une droite de l'espace en dimension 3. Calcul de distance dans un espace vectoriel de matrices. Calcul de distance dans un espace vectoriel de suites, de fonctions ou de polynômes (guidé). Calcul de distance dans un espace vectoriel de suites, de fonctions ou de polynômes (non guidé). Déterminer une isométrie du plan dont on donne la matrice. Déterminer une isométrie de l'espace dont on donne la matrice. |
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| Intégration | Reconnaître une primitive sans calcul. Intégrer une fraction rationnelle dont le dénominateur est de degré 2. Calculer une intégrale en intégrant par parties. Calculer une intégrale en faisant un changement de variable. Calculer une intégrale en linéarisant une fonction trigonométrique ou en passant par l'exponentielle complexe. Donner la nature d'une intégrale impropre de Bertrand. Donner la nature d'une intégrale impropre quelconque. Effectuer une comparaison série-intégrale pour obtenir un équivalent de somme. Calculer la limite d'une suite d'intégrales avec le théorème de convergence dominée. |
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| Nombres complexes | Calculer la partie réelle, imaginaire, le module, l'argument d'un nombre complexe. Étudier la partie réelle, imaginaire, le module, l'argument d'une puissance d'un nombre complexe. Simplifier une expression dépendant de racines cubiques de l'unité. Déterminer de nouvelles valeurs remarquables de cosinus et sinus (*). Calculer une intégrale en linéarisant une fonction trigonométrique ou en passant par l'exponentielle complexe. Calculer une somme en passant par l'exponentielle complexe. | Les cent exercices Les cent exercices Les cent exercices Les cent exercices Les cent exercices Les cent exercices |
| Polynômes |
Effectuer une décomposition en éléments simples. Effectuer une division euclidienne entre polynômes. Expliciter un polynôme interpolateur. Calculer les puissances d'une matrice grâce aux polynômes interpolateurs de Lagrange (guidé). Calculer les puissances d'une matrice grâce aux polynômes interpolateurs de Lagrange (non guidé). |
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| Probabilités |
Une chaîne de Markov d'ordre 2. Une chaîne de Markov d'ordre 3. Espérance, variance et loi de probabilité d'une variable aléatoire dont on connaît la fonction génératrice. |
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| Relations de comparaison et calculs de limites | Faire un développement limité d'une fonction (ou asymptotique d'une suite) à l'ordre 3. Trouver un équivalent simple sans développement limité sophistiqué. Calculer une limite en levant une forme indéterminée avec un développement limité. Utiliser les relations de comparaison à bon escient selon la situation. |
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| Séries numériques | Calcul de sommes en se ramenant à des sommes télescopiques ou géométriques. (*) Donner la nature d'une série numérique avec la règle de D'Alembert. Donner la nature d'une série numérique de Bertrand. Donner la nature d'une série numérique quelconque. Effectuer une comparaison série-intégrale pour obtenir un équivalent de somme. Effectuer un développement asymptotique d'une somme partielle ou d'un reste. Calculer une limite d'une suite dépendant de la série harmonique, avec la constante d'Euler. |
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| Suites numériques | Expliciter des suites arithmético-géométriques. Expliciter des suites vérifiant une relation de récurrence d'ordre 2. Déterminer l'expression d'une suite récurrente à l'aide de sa série entière génératrice (guidé). Déterminer l'expression d'une suite récurrente à l'aide de sa série entière génératrice (non guidé). Expliciter des suites vérifiant une relation de récurrence d'ordre 3 à l'aide d'une suite matricielle géométrique (guidé). Expliciter des suites vérifiant une relation de récurrence d'ordre 3 à l'aide de noyaux supplémentaires (guidé). Expliciter des suites vérifiant une relation de récurrence d'ordre 3 (non guidé). Calculer une limite d'une suite dépendant de la série harmonique, avec la constante d'Euler. |
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| Suites et séries de fonctions | Intégrer terme à terme (avec le corollaire du théorème de convergence monotone, guidé). Intégrer terme à terme (avec le théorème de convergence dominée, guidé). Calculer la limite d'une suite d'intégrales avec le théorème de convergence dominée. Montrer la continuité ou la dérivabilité d'une somme de série de fonctions. |
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| Séries entières | Calculer une somme de série entière en se ramenant aux sommes usuelles (guidé). Calculer une somme de série entière en se ramenant aux sommes usuelles (non guidé). Déterminer le rayon de convergence d'une série entière. Développer en série entière une fraction rationnelle, une arc tangente particulière. Déterminer l'expression d'une suite récurrente à l'aide de sa série entière génératrice (guidé). Déterminer l'expression d'une suite récurrente à l'aide de sa série entière génératrice (non guidé). Déterminer les solutions développables en série entière d'une équation différentielle (guidé). Déterminer les solutions développables en série entière d'une équation différentielle (non guidé). |
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| Topologie, analyse en dimension supérieure | Vérifier qu'une application sur R² est une norme, et dessiner sa sphère unité. Montrer ou contredire la continuité en (0,0) d'une fonction de deux variables (guidé). Montrer ou contredire la continuité en (0,0) d'une fonction de deux variables (non guidé). Déterminer les extremums d'une fonction de plusieurs variables. Résoudre une équation aux dérivées partielles à l'aide d'un changement de coordonnées. |
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