Title: Topologie
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Définition.
Une norme sur \(E\) est une application \(\mathrm{N} : E\to \mathbb{R}\) vérifiant :
- pour tout \(\vec{x}\in E\) : \(\mathrm{N}(\vec{x}) \geqslant 0\) (positivité) ;
- pour tout \(\vec{x}\in E\) : \(\mathrm{N}(\vec{x}) = 0 \Leftrightarrow \vec{x} = 0\) (séparation) ;
- pour tout \(\vec{x}\in E\) et tout \(\lambda \in K\) : \(\mathrm{N}(\lambda\vec{x}) = |\lambda|\mathrm{N}(\vec{x})\) (homogénéité) ;
- pour tous \(\vec{x},\vec{y}\in E\) : \(\mathrm{N}(\vec{x}+\vec{y})\leqslant \mathrm{N}(\vec{x})+\mathrm{N}(\vec{y})\) (inégalité triangulaire).

Q: Inégalité triangulaire renversée.
\[|[...]| \leqslant [...].\]
A: \mathrm{N}(\vec{y})-\mathrm{N}(\vec{x}); \mathrm{N}(\vec{y}-\vec{x})

Q: Définition.
\[\textrm{Si }\vec{x} = (x_1,\dots,x_n) \in K^n,\textrm{ alors : } \|\vec{x}\|_1 = [...]\]
A: \sum\limits_{i=1}^n |x_i|.

Q: Définition.
\[\textrm{Si }\vec{x} = (x_1,\dots,x_n) \in K^n,\textrm{ alors : } \|\vec{x}\|_2 = [...]\]
A: \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |x_i|^2}.

Q: Définition.
\[\textrm{Si }\vec{x} = (x_1,\dots,x_n) \in K^n,\textrm{ alors : } \|\vec{x}\|_\infty = [...]\]
A: \max\limits_{1\leqslant i \leqslant n} |x_i|.

Q: Norme sur un espace euclidien.
\[\|\vec{x}\|_2 = [...]\]
A: \sqrt{\langle \vec{x},\vec{x}\rangle}.

Q: Inégalité reliant \(\|\vec{x}-\vec{z}\|\), \(\|\vec{x}-\vec{y}\|\) et \(\|\vec{y}-\vec{z}\|\).
\[\|\vec{x}-\vec{z}\| \leqslant [...].\]
A: \|\vec{x}-\vec{y}\|+\|\vec{y}-\vec{z}\|

Q: Définition d'une boule ouverte.
\[\mathrm{B}(\vec{a},r) = \left\{\vec{x} \in E \mid [...] \right\}.\]
A: \|\vec{x}-\vec{a}\| < r

Q: Définition d'une boule fermée.
\[\mathrm{B}_f(\vec{a},r) = \left\{\vec{x} \in E \mid [...] \right\}.\]
A: \|\vec{x}-\vec{a}\| \leqslant r

Q: Définition d'une sphère.
\[\mathrm{S}(\vec{a},r) = \left\{\vec{x} \in E \mid [...] \right\}.\]
A: \|\vec{x}-\vec{a}\| = r

Q: Dans l'espace vectoriel normé \(\mathbb{R}\) muni de la valeur absolue, à quoi ressemblent :
\[\mathrm{B}(a,r)\textrm{ et } \mathrm{B}_f(a,r)\, ?\]
A: \[\mathrm{B}(a,r) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid |x-a| < r \right\} = ]a-r,a+r[.\]
\[\mathrm{B}_f(a,r) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid |x-a| \leqslant r \right\} = [a-r,a+r].\]

Dans l'espace vectoriel normé \(\mathbb{R}^2\) muni de \(\|\cdot\|_1\), comment dessinerait-on :
\[\mathrm{B}_f(a,r) ?\]

Dans l'espace vectoriel normé \(\mathbb{R}^2\) muni de \(\|\cdot\|_2\), comment dessinerait-on :
\[\mathrm{B}_f(a,r)\, ?\]

Dans l'espace vectoriel normé \(\mathbb{R}^2\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), comment dessinerait-on :
\[\mathrm{B}_f(a,r)\, ?\]

Q: Définition de partie bornée dans un espace vectoriel normé ?
A: Une partie \(X\) est bornée s'il existe \(r \geqslant 0\) tel que :
\[\forall \vec{x} \in X,\quad \|\vec{x}\|\leqslant r.\]

Q: Définition d'une suite bornée dans un espace vectoriel normé ?
A: Une suite \(\left(\vec{u}_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) est bornée s'il existe \(r \geqslant 0\) tel que :
\[\forall n \in \mathbb{N},\quad \|\vec{u}_n\|\leqslant r.\]

Q: Définition de fonction bornée dans un espace vectoriel normé ?
A: Une fonction \(f : X \to E\) est bornée s'il existe \(r \geqslant 0\) tel que :
\[\forall x \in X,\quad \|f(\vec{x})\|\leqslant r.\]

Q: Exemples de parties bornées usuelles dans un espace vectoriel normé ?
A: Les boules et les sphères.

Q: Exemples de parties NON bornées usuelles dans un espace vectoriel normé ?
A: Les sous-espaces vectoriels différents de \(\{\vec{0}\}\).

Q: Définition epsilonesque de la limite.
On dit que \(\left(\vec{u}_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge vers \(\vec{L}\) au sens de \(\|\cdot\|\) si et seulement si:
\[[...],\quad [...].\]
A: \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N};\ \forall n \geqslant N; \|\vec{u}_n-\vec{L}\| \leqslant \varepsilon

Q: Définition sans quantification de la limite.
On dit que \(\left(\vec{u}_n\right)_{n \in \mathbb{N} }\) converge vers \(\vec{L}\) au sens de \(\|\cdot\|\) si et seulement si :
\[\lim_{n \to +\infty} [...] = 0.\]
A: \|\vec{u}_n-\vec{L}\|

Q: Définition epsilonesque de la limite.
Soit \(f : A \to F\) une application.
On dit que \(f\) admet \(\vec{L}\) pour limite en \(\vec{a}\) si et seulement si :
\[[...] : [...] \Rightarrow [...].\]
A: \forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta >0;\ \forall \vec{x} \in A; \|\vec{x}-\vec{a}\|_E \leqslant \eta; \|f(\vec{x})-\vec{L}\|_F \leqslant \varepsilon

Q: Définition d'une limite infinie.
Soit \(f : A \to \mathbb{R}\) une application.
On dit que \(f\) admet \(+\infty\) pour limite en \(\vec{a}\) si et seulement si :
\[[...] : [...] \Rightarrow [...].\]
A: \forall M > 0,\ \exists \eta >0;\ \forall \vec{x} \in A; \|\vec{x}-\vec{a}\|_E \leqslant \eta; f(\vec{x}) \geqslant M

Q: Définition d'une limite en l'infini.
Soit \(f : A \subseteq \mathbb{R} \to F\) une application.
On dit que \(f\) admet \(\vec{L}\) pour limite en \(+\infty\) si et seulement si :
\[[...] : [...] \Rightarrow [...].\]
A: \forall \varepsilon > 0,\ \exists M \geqslant 0;\ \forall \vec{x} \in A; x \geqslant M; \|f(\vec{x})-\vec{L}\|_F \leqslant \varepsilon

Caractérisation séquentielle de la limite.
Soit \(f : E \to F\).
\[\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = \vec{\ell} \Longleftrightarrow \left[\forall \left(\vec{u}_n\right)_{n\in \mathbb{N} } \in E^\mathbb{N} : \lim_{n \to +\infty} \vec{u}_n = \vec{a}  \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(\vec{u}_n) = \vec{\ell} \right].\]

Caractérisation séquentielle de la continuité.
Soit \(f : E \to F\).
\[f \textrm{ est continue en }\vec{a} \Longleftrightarrow \left[ \forall \left(\vec{u}_n\right)_{n\in \mathbb{N} } \in E^\mathbb{N} : \lim_{n \to +\infty}  \vec{u}_n  = \vec{a}  \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(\vec{u}_n) = f(\vec{a}) \right].\]

Q: Définition.
On dit que \(f:E\to F\) est \(K\)-lipschitzienne si :
\[\forall (\vec{x},\vec{y})\in E^2,\quad [...].\]
A: \|f(\vec{y})-f(\vec{x})\|_F \leqslant K\|\vec{y}-\vec{x}\|_E

Q: Vrai ou faux.
Une application lipschitzienne est continue.
A: C'est vrai.
Démonstration de la continuité en \(\vec{a}\) :
\[0\leqslant \|f(\vec{x}) - f(\vec{a})\| \leqslant K\|\vec{x}-\vec{a}\| \to 0\textrm{ quand } \vec{x} \to \vec{a}\]
donc : \(\lim\limits_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = f(\vec{a})\).

Q: Vrai ou faux.
Une application continue est lipschitzienne.
A: C'est faux.
L'application \(x \mapsto x^2\) est un contre-exemple :
\[\underbrace{|x^2-y^2|}_{=|(x-y)(x+y)|}\leqslant K|x-y| \Rightarrow |x+y|\leqslant K : \textrm{absurde si \(x\) et \(y\) sont grands}.\]

Q: Équivalence des normes usuelles.
\[\forall \vec{x} \in K^n,\quad \|\vec{x}\|_\infty \leqslant \|\vec{x}\|_1 \leqslant [...]\|\vec{x}\|_\infty.\]
A: n

Q: Équivalence des normes usuelles.
\[\forall \vec{x} \in K^n,\quad \|\vec{x}\|_\infty \leqslant \|\vec{x}\|_2 \leqslant [...]\|\vec{x}\|_\infty.\]
A: \sqrt{n}

Q: Équivalence des normes usuelles.
\[\forall \vec{x} \in K^n,\quad \|\vec{x}\|_2 \leqslant \|\vec{x}\|_1 \leqslant [...]\|\vec{x}\|_2.\]
A: \sqrt{n}

Q: Dans un espace vectoriel normé de dimension finie,
comment montrer en pratique qu'une suite est bornée ?
A: On montre que ses composantes sont bornées.

Q: Dans un espace vectoriel normé de dimension finie,
comment montrer en pratique qu'une partie est bornée ?
A: On montre que les coordonnées de ses éléments sont bornées.

Q: Dans un espace vectoriel normé de dimension finie,
comment montrer en pratique qu'une partie n'est pas bornée ?
A: On construit une suite dans cette partie, dont une des coordonnées tend vers l'infini.

Q: Comment calcule-t-on la limite d'une suite ou d'une fonction,
à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie ?
A: On calcule la limite composante par composante.

Q: Comment montre-t-on la continuité d'une fonction
à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie ?
A: On montre la continuité de ses composantes.

Q: Vrai ou faux.
En dimension finie, toute application est continue.
A: C'est faux.

Q: Vrai ou faux.
En dimension finie, toute application linéaire est continue.
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
En dimension finie, toute application linéaire est lipschitzienne.
A: C'est vrai.
\[\|f(\vec{x})\| = \left\|f\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\vec{e}_i\right)\right\| = \left\|\sum\limits_{i=1}^nx_i f\left(\vec{e}_i\right)\right\| \leqslant \sum\limits_{i=1}^n|x_i|\left\|f\left(\vec{e}_i\right)\right\| \leqslant \underbrace{\max_{1\leqslant i\leqslant n}\left\|f\left(\vec{e}_i\right)\right\|}_{=K}\|\vec{x}\|_1.\]

Q: Exemples d'applications continues définies sur \(\mathrm{M}_n(K)\) ?
A: Applications linéaires donc continues :
\[A \mapsto \mathrm{tr}(A),\quad A \mapsto A^\top, \quad A \mapsto AB, \quad A \mapsto CA.\]
Applications multilinéaires donc continues :
\[(A,B) \mapsto AB,\quad A\mapsto \det(A),\quad (A,B) \mapsto \langle A,B\rangle = \mathrm{tr}(A^\top B).\]

Q: Applications continues de référence
sur un espace vectoriel normé de dimension finie ?
(citer cinq types d'applications)
A: - les normes ;
- les applications linéaires ;
- les applications \(n\)-linéaires ;
- les applications polynomiales (sur \(K^n\)) ;
- les applications lipschitziennes.

Les applications continues de référence sur un espace vectoriel normé de dimension finie sont :
- les normes ;
- les applications linéaires ;
- les applications \(n\)-linéaires ;
- les applications polynomiales (sur \(K^n\)) ;
- les applications lipschitziennes.

Q: Comment justifier que :
\[(x,y) \mapsto e^x,\quad (x,y) \mapsto e^y,\]
sont continues ?
(question analogue pour toute autre fonction continue sur un intervalle de \(\mathbb{R}\))
A: On dit que c'est la composition
de \((x,y) \mapsto x\) (continue car polynomiale)
et de \(x \mapsto e^x\).
De même pour \((x,y) \mapsto e^y\).

Q: En dimension infinie, comment démontrer qu'une application linéaire est continue ?
A: On montre qu'elle est lipschitzienne.

Q: Pour montrer qu'une application \(f\) linéaire est \(K\)-lipschitzienne,
il suffit de montrer :
\[[...] \leqslant [...].\]
A: \forall \vec{x} \in E,\quad \|f(\vec{x})\|; K\|\vec{x}\|

Q: Définition.
Segment d'extrémités \(\vec{x}\) et \(\vec{y} \in E\) :
\[[\vec{x},\vec{y}] = [...]\]
A: \left\{t\vec{x}+(1-t)\vec{y} \mid t \in [0,1]\right\}.

Définition.
Pour qu'un ensemble \(C\) soit convexe, il faut montrer que :
\[\forall (\vec{x},\vec{y}) \in C^2,\forall t \in [0,1],\quad t\vec{x}+(1-t)\vec{y}  \in C.\]

Q: Quels sont les ensembles convexes de référence ?
A: - les boules ouvertes et fermées (mais pas les sphères) ;
- les espaces vectoriels.

Q: Caractérisation séquentielle des points adhérents.
Soient \(A \subseteq E\) et \(\vec{a} \in E\).
\[\vec{a} \textrm{ adhérent à }A \Longleftrightarrow [...]\]
A: \textrm{ il existe une suite à valeurs dans \(A\) qui converge vers }\vec{a}.

Q: Caractérisation séquentielle des fermés.
Soit \(A \subseteq E\).
\(A\) est fermé \(\Longleftrightarrow\) [...]
A: la limite de toute suite convergente à valeurs dans \(A\) est aussi dans \(A\).

Soit \(f: E \to \mathbb{R}\) une application continue.
Pour tout \(\alpha\in \mathbb{R}\), les ensembles :
\[\{\vec{x}\in E \mid f(\vec{x}) \geqslant \alpha\},\quad \{\vec{x}\in E \mid f(\vec{x}) \leqslant \alpha\}, \quad \{\vec{x}\in E\mid f(\vec{x}) = \alpha\}\]
sont des parties fermées de \(E\).

Soit \(f: E \to \mathbb{R}\) une application continue.
Pour tout \(\alpha\in \mathbb{R}\), les ensembles :
\[\{\vec{x}\in E \mid f(\vec{x}) >\alpha\},\quad \{\vec{x}\in E \mid f(\vec{x}) <\alpha\}\]
sont des parties ouvertes de \(E\).

Théorème des bornes atteintes.
Soient :
- \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie ;
- \(A\) une partie fermée et bornée de \(E\) ;
- \(f : A\to \mathbb{R} \) une application continue.
Alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(\vec{x}_1,\vec{x}_2 \in A\) tels que :
\[f(\vec{x}_1) = \inf\limits_{x\in A} f(\vec{x})\textrm{ et }f(\vec{x}_2) = \sup\limits_{x\in A} f(\vec{x}).\]

Q: Comment justifier la continuité de :
\[\begin{array}{@{}r c l} \mathrm{M}_n(K) & \to & \mathrm{M}_{n}(K) \\
M& \mapsto & M^k\end{array} ?\]
A: Par continuité de \(M \mapsto M\) (linéaire) et du produit matriciel.

Q: Définition.
Soient \(\mathrm{N}_1\) et \(\mathrm{N}_2\) deux normes sur un espace vectoriel \(E\). On dit que \(\mathrm{N}_1\) et \(\mathrm{N}_2\) sont équivalentes s'il existe \((\alpha,\beta) \in [...]\) tel que :
\[\forall \vec{x} \in E,\quad [...].
\]
A: (\mathbb{R}_+^*)^2; \alpha\mathrm{N}_1(\vec{x}) \leqslant \mathrm{N}_2(\vec{x}) \leqslant \beta\mathrm{N}_2(\vec{x})

Q: À quoi sert-il de savoir que deux normes sont équivalentes ?
A: Tout résultat analytique à démontrer (calcul de limite par exemple) vrai pour une norme reste vrai pour l'autre : autant choisir la norme qui nous arrange pour notre raisonnement.

Q: Exemples de parties fermées de \(\mathbb{R}\) ?
A: Les intervalles fermés :
\[[a,b],\quad [a,+\infty[,\quad ]-\infty,b].
\]

Un moyen pratique d'obtenir des fermés.
Soit \(A\subseteq E\). Soit \(f : A \to F\) une application continue. Soit \(Y\) un fermé de \(F\). Alors l'ensemble
\[
f^{-1}(Y) = \left\{\vec{x} \in A \mid f(\vec{x}) \in Y \right\}
\]
est une partie fermée de \(E\).

Q: Définition.
Soient \(E\) un espace vectoriel normé et \(A\) une partie de \(E\). On dit \(A\) est une partie dense de \(E\) si :
\[ [...].\]
C'est-à-dire : tout élément de \(E\) est [...].
A: \overline{A} = E; limite d'une suite convergente à valeurs dans \(A\)

Q: Vrai ou faux.
Une intersection quelconque de fermés est un fermé.
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
Une intersection finie de fermés est un fermé.
A: C'est vrai. C'est aussi vrai si l'intersection est infinie !

Q: Vrai ou faux.
Une réunion finie de fermés est un fermé.
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
Une réunion quelconque de fermés est un fermé.
A: C'est faux.
Contre-exemple :
\[
]-1,1[ = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left[-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right].
\]
Les segments sont des fermés, mais \(]-1,1[\) ne l'est pas.

Q: Vrai ou faux.
Une intersection quelconque d'ouverts est un ouvert.
A: C'est faux.
Contre-exemple :
\[
\{0\} = \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right[.
\]
Les intervalles ouverts sont des ouverts, mais \(\{0\}\) ne l'est pas (son intérieur est vide).

Q: Vrai ou faux.
Une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
Une réunion finie d'ouverts est un ouvert.
A: C'est vrai. C'est aussi vrai si la réunion est infinie.

Un moyen pratique d'obtenir des ouverts.
Soit \(A\subseteq E\). Soit \(f : A \to F\) une application continue. Soit \(Y\) un ouvert de \(F\). Alors l'ensemble
\[
f^{-1}(Y) = \left\{\vec{x} \in A \mid f(\vec{x}) \in Y \right\}
\]
est une partie ouverte de \(E\).