Title: Structures
Tags: structures mpsi mp ZnZ permutations

Q: Systèmes complets de représentants de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: \[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\bar{0},\bar{1},\dots, \overline{n-1}\}.\]
Également, si \(n\) est impair :\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{-\overline{\frac{n-1}{2}},\dots,\bar{0},\dots,\overline{\frac{n-1}{2}}\right\}.\]
Si \(n\) est pair :\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{-\overline{\frac{n}{2}+1},\dots,\bar{0},\dots,\overline{\frac{n}{2}}\right\}.\]

Q: Condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) soit intègre ?
A: \(n=0\) ou \(n\) premier.

Q: Condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) soit un corps ?
A: \(n\) premier.

Q: Soit \(n\) non nul et composé.
Démonstration que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) n'est pas intègre ?
A: Si \(n = ab\) avec \(a\) et \(b\) entre 2 et \(n-1\) :\[\bar{0} = \bar{a}\cdot \bar{b}\]et pourtant \(\bar{a}\neq \bar{0}\) et \(\bar{b}\neq {0}\).

Q: Soit \(k\) entier.
Condition nécessaire et suffisante sur \(k\) pour que \(\bar{k}\) soit inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: \(k\) doit être premier avec \(n\).

Q: Soit \(k\) un entier.
Si \(\bar{k}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) : comment trouver son inverse ?
A: Avec une relation de Bézout entre \(k\) et \(n\) :
\[uk+vn = 1 \Longrightarrow \bar{u}\cdot \bar{k} = \bar{1} \Longrightarrow \bar{k}^{-1} = \bar{u}. \]

Q: Condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) soit cyclique ?
A: \(m\) et \(n\) doivent être premiers entre eux.

Q: Soient \(m\) et \(n\) entiers premiers entre eux.
Démonstration que \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est cyclique ?
A: Avec le théorème chinois, ou :
\[\forall k < mn,\quad k(1 \bmod m,1 \bmod n) = (k \bmod m,k \bmod n) \neq (0 \bmod m,0 \bmod n)\]car \(k\) n'est pas divisible simultanément par \(m\) et \(n\)
(sinon, \(m\) et \(n\) étant premiers entre eux, \(mn\) diviserait \(k\))
donc \((1 \bmod m,1 \bmod n)\) est d'ordre \(mn\).

Q: Soient \(m\) et \(n\) non premiers entre eux.
Démonstration que \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) n'est pas cyclique ?
A: L'ordre maximal d'un élément n'est pas \(mn\), mais \(\mathrm{ppcm}(m,n)<mn\) :
\[\forall (k,\ell) \in \mathbb{Z}^2,\quad \mathrm{ppcm}(m,n)(k \bmod m,\ell \bmod n) = (\mathrm{ppcm}(m,n)\cdot k \bmod m,\mathrm{ppcm}(m,n)\cdot \ell \bmod n) = (0\bmod m,0\bmod n) \]car \(m\) et \(n\) divisent leur ppcm (par définition).

Q: Soit \(k\) entier.
Condition nécessaire et suffisante sur \(k\) pour que \(\bar{k}\) engendre \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: \(k\) doit être premier avec \(n\).

Q: Nombre d'éléments d'ordre \(n\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: \(\varphi(n)\),
où \(\varphi\) est l'indicatrice d'Euler.

Q: Nombre d'éléments d'ordre \(d\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: Si \(d\) divise \(n\) :
\[\varphi(d),\]où \(\varphi\) est l'indicatrice d'Euler.
Si \(d\) ne divise pas \(n\) :\[0.\]

Q: Définition de l'indicatrice d'Euler ?
A: \[\forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0\},\quad \varphi(n) = \mathrm{card}\left\{k\in \{1,\dots,n\} \mid \mathrm{pgcd}(n,k)=1\right\}.\]

Q: Racines primitives \(n\)^es de \(\mathbb{U}_n\) ?
A: \[\left\{e^{\frac{2i\pi k}{n}} \mid k \in \mathbb{Z},\ \mathrm{pgcd}(k,n)=1\right\}.\]

Q: Vrai ou faux.
Si \(G\) est cyclique, alors tout sous-groupe de \(G\) est cyclique.
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
Si tout sous-groupe de \(G\) est cyclique, alors \(G\) est cyclique.
A: C'est vrai, puisque \(G\) est en particulier un sous-groupe de lui-même.

Q: Vrai ou faux.
Si tout sous-groupe strict de \(G\) est cyclique, alors \(G\) est cyclique.
A: C'est faux.
Contre-exemple : \(G = \left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2\).
Tous ses éléments sont d'ordre \(1\) ou \(2\), donc \(G\) n'est pas cyclique.
Mais ses sous-groupes stricts :
\[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \{\bar{0}\} = \langle (\bar{1},\bar{0})\rangle,\quad \{\bar{0}\}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \langle (\bar{0},\bar{1})\rangle, \quad \langle (\bar{1},\bar{1})\rangle,\quad \{(\bar{0},\bar{0})\},\]sont tous cycliques.

Q: Sous-groupes de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: Ils sont tous cycliques,
et il y en a exactement un pour chaque cardinal \(d\) divisant \(n\) :\[\left\langle \overline{\frac{n}{d}} \right\rangle.\]

Q: Sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) ?
A: \[n\mathbb{Z}\]pour tout \(n\) entier.

Q: Définition.
On dit que \((G,\cdot)\) est [...] si :[...]
A: un groupe commutatif; \[\forall (x,y) \in G^2,\quad x\cdot y =y\cdot x.\]

Q: Définition.
On dit qu'une loi de composition interne \(\times\) (sur \(G\)) est [...] si :[...]
A: associative; \[\forall (x,y,z) \in G^3,\quad x\cdot (y\cdot z) =(x\cdot y) \cdot z.\]

Q: Définition.
Soit \((G,\cdot)\) un groupe.
\[\forall (g,n)\in G\times (\mathbb{N}\setminus \{0\}),\quad g^n = [...]\]
A: g\cdots g \quad \textrm{(\(n\) termes)}.

Q: Définition (notation additive).
Soit \((G,+)\) un groupe.
\[\forall (g,n)\in G\times (\mathbb{N}\setminus \{0\}),\quad n\cdot g = [...]\]
A: g+\cdots + g \quad \textrm{(\(n\) termes)}.

Q: Définition.
Élément neutre de \((G,\cdot)\) ?
A: S'il existe, c'est l'unique \(e\in G\) tel que :\[\forall g \in G,\quad g\cdot e = e\cdot g = g.\]

Q: Définition (notation additive).
Soit \((G,+)\) un groupe.
\[\forall g\in G,\quad 0\cdot g = [...].\]
A: 0_G

Q: Définition.
Soit \((G,\cdot)\) un groupe.
\[\forall g\in G,\quad g^0 = [...].\]
A: 1_G

Q: Vrai ou faux.
On dit que \(x\) est inversible dans \((G,\cdot)\) s'il existe \(y \in G\) tel que :\[x\cdot y = y\cdot x = 1_G.\]
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
On dit que \(x\) est inversible dans \((G,\cdot)\) s'il existe \(y \in G\) tel que :\[x\cdot y = 1_G.\]
A: C'est faux.
Il faut aussi : \(y\cdot x = 1_G\).

Q: Vrai ou faux.
On dit que \(x\) est inversible dans \((G,\cdot)\) s'il existe \(y \in G\) tel que :\[y\cdot x = 1_G.\]
A: C'est faux.
Il faut aussi : \(x\cdot y = 1_G\).

Q: Définition.
On dit que \(x\) est inversible dans \((G,\cdot)\) [...]
A: s'il existe \(y \in G\) tel que :\[x\cdot y = y\cdot x = 1_G.\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(G\) un groupe. Soit \((x,y,z)\in G^3\).
Si : \(x \cdot y = x\cdot z\),
alors : \(y = z\).
A: C'est vrai.
Multiplier à gauche par \(x^{-1}\) (qui existe dans un groupe).

Q: Vrai ou faux.
Si \(x\) et \(y\) sont inversibles, alors \(xy\) aussi.
A: C'est vrai.
\[xy \left(y^{-1}x^{-1}\right) = \left(y^{-1}x^{-1}\right)xy = 1_G.\]

Q: Inverse d'un produit.
Si \(x\) et \(y\) inversibles :\[(xy)^{-1} = [...].\]
A: y^{-1}x^{-1}

Q: Définition.
Un groupe est un magma [...] :
- [...]
- [...]
A: associatif; possédant un élément neutre ;; tel que tout élément soit inversible à gauche et à droite.

Q: Parmi ces structures, lesquelles ne donnent pas un groupe ?
\[(\mathbb{N},+),\ (\mathbb{N},\times),\  (\mathbb{Z},+),\  (\mathbb{Z},\times),\  (\mathrm{M}_n(K),+),\  (\mathrm{M}_n(K),\times),\ (\mathrm{GL}_n(K),+),\ (\mathrm{GL}_n(K),\times).\]
A: \[(\mathbb{N},+),\ (\mathbb{N},\times),\  (\mathbb{Z},\times),\  (\mathrm{M}_n(K),\times),\  (\mathrm{GL}_n(K),+).\]

Q: Définition.
Soit \(E\) un ensemble non vide.
Groupe symétrique de \(E\) ?
A: C'est l'ensemble des bijections de \(E\) dans \(E\).

Q: Pour quelle loi et quel élément neutre \(S_E\) (groupe symétrique de \(E\))
est-il un groupe ?
A: Pour la loi de composition.
Élément neutre : \(\mathrm{Id}_E\).

Q: Soient \(G_1,\dots,G_n\) des groupes.
Pour quelle loi et quel élément neutre \(G_1\times \cdots \times G_n\)
est-il un groupe ?
A: Multiplication coordonnée par coordonnée :
\[(x_1,\dots,x_n)(y_1,\dots,y_n) = (x_1y_1,\dots,x_ny_n).\]Élément neutre : \((1_{G_1},\dots,1_{G_n})\).

Q: Caractérisation des sous-groupes.
Soient \(G\) un groupe et \(H\) une partie de \(G\).
Alors \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si :
- [...]
- [...]
- [...]
A: \(1_G\in H\) ;; \(\forall (h_1,h_2) \in H^2\), \(h_1h_2\in H\) (stabilité par produit) ;; \(\forall h \in H\), \(h^{-1}\in H\) (stabilité par inverse).

Q: Caractérisation des sous-groupes n°2.
Soient \(G\) un groupe et \(H\) une partie de \(G\).
Alors \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si :
- [...]
- [...]
A: \(1_G\in H\) ;; \(\forall (h_1,h_2) \in H^2\), \(h_1^{-1}h_2\in H\) (stabilité par produit et inverse).

Q: Définition.
Soient \((G,\cdot)\) et \((H,\times)\) deux groupes.
Définition d'un morphisme de groupes de \(G\) dans \(H\) ?
A: C'est une application \(f : G\to H\) vérifiant :
\[\forall (x,y)\in G^2,\quad f(x\cdot y) = f(x)\times f(y).\]

Q: Exemple de morphisme de \((\mathbb{R},+)\) dans \((\mathbb{R}_+^*,\times)\) ?
A: \[\exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}_+^*.\]

Q: Exemple de morphisme de \((\mathbb{C},+)\) dans \((\mathbb{C}_+^*,\times)\) ?
A: \[\exp : \mathbb{C}\to \mathbb{C}^*.\]

Q: Exemple de morphisme de \((\mathbb{C}^*,\times)\) dans \((\mathbb{R}_+^*,\times)\) ?
A: \[|\cdot| : \mathbb{C}^*\to \mathbb{R}_+^*.\]

Q: Exemple de morphisme de \((\mathbb{R}_+^*,\times)\) dans \((\mathbb{R}_+^*,\times)\) ?
A: \[x \mapsto x^\alpha\]avec \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Q: Exemple de morphisme de \((\mathbb{Z},+)\) dans \((\mathbb{C}^*,\times)\) ?
A: \[k\mapsto z^k\]avec \(z \in \mathbb{C}\).

Q: Exemple de morphisme de \((\mathrm{M}_n(K),+)\) dans \((K,+)\) ?
A: \[\mathrm{tr}: \mathrm{M}_n(K)\to K. \]

Q: Exemple de morphisme de \((\mathrm{GL}_n(K),\times)\) dans \((K^*,\times)\) ?
A: \[\mathrm{det}: \mathrm{GL}_n(K)\to K^*. \]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:G\to H\) morphisme de groupes. Alors :
\[f(1_G) = 1_H.\]
A: C'est vrai.
\[f(1_G) = f(1_G^2) = f(1_G)^2.\]On multiplie alors par l'inverse de \(f(1_G)\).

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:G\to H\) morphisme de groupes. Alors :
\[f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.\]
A: C'est vrai.
\[f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(1_G) = 1_H.\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:G\to H\) morphisme de groupes.
Soit \(K\) sous-groupe de \(G\).
Alors \(f(K)\) sous-groupe de \(H\).
A: C'est vrai.
\[\forall (k,k') \in K^2, f(k)^{-1} f(k') = f(\underbrace{k^{-1} k'}_{\in K}) \in f(K).\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:G\to H\) morphisme de groupes.
Soit \(K\) sous-groupe de \(H\).
Alors \(f^{-1}(K)\) sous-groupe de \(G\).
A: C'est vrai.
Si \(f(g)\in K\) et \(f(g')\in K\) :
\[f(g^{-1}g') = \underbrace{f(g)^{-1}f(g')}_{\in K}\in K.\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:G\to H\) morphisme de groupes.
Alors l'image de f est un sous-groupe de \(H\).
A: C'est vrai.
C'est l'image directe du groupe \(G\).

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:G\to H\) morphisme de groupes.
Alors le noyau de \(f\) est un sous-groupe de \(G\).
A: C'est vrai.
C'est l'image réciproque du groupe \(\{1_H\}\).

Q: Définition.
Soit \(f : G\to H\) un morphisme de groupes.
\[\ker(f) = [...].\]
A: \left\{x\in G \mid f(x) = 1_H\right\}

Q: Définition.
Soit \(f : A\to B\) un morphisme d'anneaux.
\[\ker(f) = [...].\]
A: \left\{x\in A \mid f(x) = 0_B\right\}

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:A\to B\) morphisme d'anneaux. Alors :
\[f(0_A) = 0_B.\]
A: C'est vrai en tant que morphisme de groupes de \((A,+)\) dans \((B,+)\).

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:A\to B\) morphisme d'anneaux. Alors :
\[f(1_A) = 1_B.\]
A: C'est vrai par définition d'un morphisme d'anneaux.

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:A\to B\) morphisme d'anneaux.
Soit \(x\in A\) inversible. Alors :
\[f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.\]
A: C'est vrai.
\[f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(1_A) = 1_B.\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:A\to B\) morphisme d'anneaux.
Soit \(A'\) sous-anneau de \(A\).
Alors \(f(A')\) sous-anneau de \(B\).
A: C'est vrai.
\[\forall (a,a') \in (A')^2, f(a)^{-1} f(a') = f(\underbrace{a^{-1} a'}_{\in A'}) \in f(A').\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:A\to B\) morphisme d'anneaux.
Soit \(I\) idéal de \(A\).
Alors \(f(I)\) idéal de \(B\).
A: C'est faux.
Contre-exemple :
\[\begin{array}{r r c l}f: & \mathbb{Z}& \to &\mathbb{Q}\\ & x & \mapsto & x\end{array}.\]Alors \(I = \mathbb{Z}\) est un idéal de \(\mathbb{Z}\),
mais \(f(I)=\mathbb{Z}\) n'est pas un idéal de \(\mathbb{Q}\) :\[\underbrace{\frac{1}{2}}_{\in \mathbb{Q}}\cdot \underbrace{1}_{\in f(I)} \not\in f(I).\]

Q: Vrai ou faux.
Soit \(f:A\to B\) morphisme d'anneaux.
Soit \(I\) idéal de \(B\).
Alors \(f^{-1}(I)\) idéal de \(A\).
A: C'est vrai.
Si \(a \in A\) et \(i\in f^{-1}(I)\) :
\[f(ai) = \underbrace{f(a)}_{\in B} \underbrace{f(i)}_{\in I}\in I.\]

Q: Caractérisation dans le cas d'un morphisme.
Soit \(f : G\to H\) un morphisme de groupes.
\[[...]\Longleftrightarrow [...].\]
A: f\textrm{ injectif}; \ker(f) = \{1_G\}

Q: Caractérisation dans le cas d'un morphisme.
Soit \(f : A\to B\) un morphisme d'anneaux.
\[[...]\Longleftrightarrow [...].\]
A: f\textrm{ injectif}; \ker(f) = \{0_A\}

Q: Définition.
Un isomorphisme est [...].
A: un morphisme bijectif

Q: Définition.
Un automorphisme est [...].
A: un endomorphisme bijectif

Q: Définition.
Un endomorphisme est [...].
A: un morphisme d'un groupe (ou anneau, ou...) dans lui-même

Q: Définition.
Un anneau \(A\) est un triplet \((A,+,\times)\) tel que :
- [...]
- [...]
- [...]
A: \((A,+)\) soit un groupe commutatif ;; \((A,\times)\) soit un magma associatif ;; la multiplication \(\times\) soit distributive par rapport à l'addition \(+\).

Q: Définition.
On dit qu'un anneau \((A,+,\times)\) est commutatif si [...].
A: \((A,\times)\) est commutatif

Q: Calcul dans un anneau.
Soient \(a\) et \(b\) dans \(A\)[...]. Alors :
\[(a+b)^n = [...].\]
A: et qui commutent; \sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}

Q: Calcul dans un anneau.
Soient \(a\) et \(b\) dans \(A\)[...]. Alors :
\[a^n-b^n = [...].\]
A: et qui commutent; (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-k-1}

Q: Vrai ou faux.
Dans un anneau quelconque :\[(-1_A)^2 = 1_A.\]
A: C'est vrai.\[(-1_A)\cdot 0_A = (-1_A)\cdot (1_A-1_A) = (-1_A)\cdot 1_A + (-1_A)\cdot (-1_A) = -1_A + (-1_A)\cdot (-1_A).\]

Q: Définition d'un anneau intègre ?
A: \[\forall (a,b) \in A^2,\quad ab=0_A \Longrightarrow a=0_A\textrm{ ou } b=0_A.\]

Q: Exemple d'anneau non intègre ?
A: \[\mathrm{M}_n(K)\]pour \(n\geqslant 2\).

Q: Caractérisation des sous-anneaux.
Soient \(A\) un groupe et \(A'\) une partie de \(A\).
Alors \(A'\) est un sous-anneau de \(A\) si et seulement si :
- [...]
- [...]
- [...]
A: \(0_A\in A'\) ;; \(\forall (a_1,a_2) \in (A')^2\), \(a_1-a_2\in A'\) (stabilité par différence) ;; \(\forall (a_1,a_2) \in (A')^2\), \(a_1a_2\in A'\) (stabilité par produit).

Q: Définition d'un corps ?
A: C'est un anneau commutatif dont tout élément non nul est inversible.

Q: Définition.
Soient \(A\) et \(B\) deux anneaux.
Définition d'un morphisme d'anneaux de \(A\) dans \(B\) ?
A: C'est une application \(f : A\to B\) vérifiant :\[f(1_A)=1_B,\]et :
\[\forall (a,b)\in A^2,\quad f(a+b) = f(a)+f(b),\quad f(a b) = f(a)f(b).\]

Q: Définition.
Support d'une permutation \(\sigma \in S_n\) ?
A: \[\mathrm{supp}(\sigma) = \left\{x\in \{1,\dots,n\}\mid \sigma(x)\neq x\right\}.\]

Q: Définition.
Permutations de \(\{1,\dots,n\}\) disjointes ?
A: \[\mathrm{supp}(\sigma)\cap \mathrm{supp}(\tau) = \emptyset.\]

Q: Vrai ou faux.
Deux permutations de \(S_n\) commutent.
A: C'est presque toujours faux.
\[(1\ 2)(1 \ 3) = (2\ 1\ 3),\]et :
\[(1\ 3)(1 \ 2) = (2\ 3\ 1).\]

Q: Vrai ou faux.
Deux permutations à support disjoint commutent.
A: C'est vrai.

Q: Définition.
On dit que \(\sigma \in S_n\) est un \(p\)-cycle [...]
A: s'il existe \(x_1,\dots,x_p\in \{1,\dots,n\}\) distincts tels que:
\[\forall i \in \{1,\dots,n\},\ \sigma(x_i) = x_{i+1},\quad \textrm{ et : }\quad \sigma(x_p) = x_1,\]et : \[\forall x \not\in \{x_1,\dots,x_p\}, \quad \sigma(x) = x.\]

Q: Définition.
Une transposition est [...].
A: un \(2\)-cycle

Q: Exemples de partie génératrice de \(S_n\) ?
A: \[\{\textrm{transpositions}\},\]ou :
\[\{\textrm{cycles}\}.\]

Q: Morphisme de signature.
Soit \(\tau \in S_n\) une transposition.\[\varepsilon(\tau) = [...]\]
A: -1.

Q: Morphisme de signature.
Soit \(\tau \in S_n\) un \(p\)-cycle.\[\varepsilon(\tau) = [...]\]
A: (-1)^{p-1}.

Q: Relation d'équivalence utilisée pour définir les classes de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) :\[x\sim y \Longleftrightarrow n [...]\]
A: \textrm { divise } x-y \Longleftrightarrow x-y \in n\mathbb{Z}.

Q: Définition de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?
A: C'est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation : \[x\sim y \Longleftrightarrow n \textrm { divise } x-y \Longleftrightarrow x-y \in n\mathbb{Z}.\]

Q: Définition.
Soit \(A\) anneau commutatif.
Soit \(I\) une partie de \(A\). On dit que \(I\) est un idéal de \(A\) si :
- [...]
- [...]
A: \((I,+)\) est un sous-groupe de \((A,+)\) ;; \(\forall (a,i)\in A\times I\), \(a\cdot i \in I\).

Q: Exemples d'idéaux d'un anneau \(A\) :
- [...]
- [...]
A: \(\ker(f)\) avec \(f : A\to B\) morphisme d'anneaux ;; \(a_1A+\cdots a_n A\) pour tout \((a_1,\dots,a_n) \in A^n\).

Q: Sous-groupe de \(G\) engendré par une partie \(S\).
Définition ?
A: C'est le plus petit sous-groupe de \(G\) contenant \(S\).

Q: Sous-groupe de \(G\) engendré par une partie \(S\).
Description ensembliste explicite ?
A: \[\langle S\rangle = \bigcap_{H} H,\]où l'intersection est indexée par les sous-groupes de \(G\) contenant \(S\).

Q: Sous-groupe de \(G\) engendré par une partie \(S\).
Description explicite de ses éléments, si \(S = \{s_1,\dots,s_k\}\) ?
A: \[
\langle S\rangle = \left\{g \in G\mid \exists r \in \mathbb{N},\ \exists (s_1,\dots,s_r) \in (S\cup S^{-1})^r, \quad g = s_1\cdots s_r\right\}.
\]

Q: Définition d'une partie génératrice d'un groupe \(G\).
C'est une partie \(S\) telle que : [...]
A: \(G = \langle S\rangle\).
Concrètement : tout élément de \(G\) est produit d'éléments de \(S\cup S^{-1}\).

Q: Ordre d'un élément.
Soit \(G\) un groupe. Soit \(x \in G\).
On dit que \(x\) est d'ordre fini si [...].
On appelle ordre de \(x\) [...].
A: le sous-groupe engendré par \(x\) est fini; le cardinal de \(\langle x \rangle\)

Q: Sous-groupe engendré par un seul élément.
\[\langle x \rangle = [...].\]
A: \left\{x^k\mid k \in \mathbb{Z}\right\}

Q: Sous-groupe engendré par un seul élément (notation additive).
\[\langle x \rangle = [...].\]
A: \left\{k\cdot x\mid k \in \mathbb{Z}\right\}

Q: Soit \(G\) un groupe.
Description des éléments d'ordre 1 ?
A: \[1_G.\]

Q: Soit \(K\) un corps.
Description des éléments d'ordre 2 dans \(K^*\) ?
A: \[-1_K.\](sauf si \(1_K=-1_K\))

Q: Vrai ou faux.
Dans un anneau commutatif \(A\), les uniques éléments à vérifier \(x^2=1_A\) sont \(1_A\) et \(-1_A\).
A: C'est faux.
Contre-exemple : dans \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\), tout élément inversible vérifie cette équation :\[(\pm \bar{1})^2 = (\pm \bar{3})^2 = \bar{1}.\]

Q: Définition d'un groupe monogène ?
A: Soit \(G\) un groupe. On dit que \(G\) est monogène s'il existe \(g\) tel que : \(G = \langle g \rangle = \left\{g^k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Q: Définition d'un groupe cyclique?
A: C'est un groupe monogène et fini.

Q: Exemples de groupe cyclique ? En citer deux.
A: \[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \langle \bar{1}\rangle\quad \textrm{ et :}\quad \mathbb{U}_n = \langle e^{\frac{2i\pi}{n}}\rangle.\]

Q: Exemple de groupe monogène infini ?
A: \[\mathbb{Z}.\]

Q: Idéaux de \(\mathbb{Z}\) ?
A: \[n\mathbb{Z}\]pour tout \(n\) entier.

Démonstration que les sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) sont de la forme \(n\mathbb{Z}\) avec \(n\) entier :
Si \(I\) sous-groupe non trivial de \(\mathbb{Z}\) :
- Prendre \(n\) non nul de valeur absolue minimale dans \(I\).
- Faire la division euclidienne de \(x\in I\) par \(n\) : \(x = nq+r\) avec \(0\leqslant r <|n|\).
- Noter que \(r = x-nq\) appartient à \(I\), et conclure que \(r\) est nul par minimalité de \(n\).
- On a : \(x = nq\in n\mathbb{Z}\), donc \(I\subseteq n\mathbb{Z}\) (inclusion réciproque évidente).

Q: Relations de divisibilité vérifiées par l'ordre un élément.
Soit \(g\in G\) d'ordre \(d\).
- [...]
- [...]
A: \(\forall k \in \mathbb{Z}\), \(g^k = 1_G\Longleftrightarrow d\ | \ k\),; \(d\) divise \(\mathrm{card}(G)\) (donc : \(g^{\mathrm{card}(G)} = 1_G\) (théorème de Lagrange).

Q: Soient \(x\in G\) et \(f:  G\to G'\) un morphisme de groupes.
Relation entre l'ordre de \(x\) et l'ordre de \(f(x)\) ?
A: L'ordre de \(f(x)\) divise l'ordre de \(x\).

Q: Soient \(x\in G\) et \(f:  G\to G'\) un morphisme de groupes.
À quelle condition suffisante sur \(f\) l'ordre de \(x\) égale l'ordre de \(f(x)\) ?
A: Si \(f\) est injective.

Q: Démonstration que tout groupe \(G\) d'ordre \(p\) premier est cyclique ?
A: Si \(g \in G\setminus \{1_G\}\),
alors \(g\) est d'ordre divisant \(p\) (théorème de Lagrange),
mais différent de 1 (vu que \(g\neq 1_G\)),
donc \(g\) est d'ordre \(p\) et engendre \(G\).

Q: Soit \(G\) un groupe de cardinal \(n\).
\[[...] \Longleftrightarrow [...].\]
A: G\textrm{ est cyclique}; G\textrm{ est isomorphe à } \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

Q: Définition du groupe alterné d'indice \(n\) ?
A: \[A_n = \ker(\varepsilon),\]avec \(\varepsilon : S_n \to \{-1,1\}\) le morphisme de signature.

Q: Cardinal du groupe alterné d'indice \(n\) ?
A: \[\frac{n!}{2}.\]

Q: \[\mathrm{card}(A_n) = \frac{n!}{2}.\]Démonstration ?
A: On a : \(A_n = \ker(\varepsilon)\) (morphisme de signature).
Théorème d'isomorphisme :\[\mathrm{card}(A_n) = \mathrm{card}(\ker(\varepsilon)) = \frac{\mathrm{card}(S_n)}{\mathrm{card}(\mathrm{im}(\varepsilon))}= \frac{\mathrm{card}(S_n)}{\mathrm{card}(\{-1,1\})}.\]

Q: Définition.
Soit \(K\) un corps.
Une \(K\)-algèbre \(A\) est un quadruplet \((A,+,\times,\cdot)\) tel que :
- [...]
- [...]
- [...]
A: \((A,+,\times)\) soit un anneau ;; \((A,+,\cdot)\) soit un \(K\)-espace vectoriel ;; pour tout \(\lambda \in K\) et tout \((a,b)\in A^2\), on ait : \((\lambda \cdot a)\times b = \lambda \cdot (a \times b) = a\times (\lambda\cdot b)\).

Exemples de \(K\)-algèbres :
- \((K[X],+,\times,\cdot)\) ;
- \((L(E),+,\circ,\cdot)\) où \(E\) est un \(K\)-espace vectoriel ;
- \((\mathrm{M}_n(K),+,\times,\cdot)\) où \(n\) est un entier naturel non nul ;
- \((\mathscr{F}(X,K),+,\times,\cdot)\) où \(X\) est un ensemble non vide quelconque.