Title: Calcul intégral
Tags: mpsi

Q: Proposition (relation de Chasles).
On a: \(\displaystyle \int_a^b f = [...]\).
A: \int_a^c f + \int_c^b f

Q: Proposition (séparation de l'intégrale).
Si \(f : I \to \mathbb{R}\) est [...] alors :
\[
\int_I f = 0 \Leftrightarrow f = 0.
\]
[...]
A: continue et positive,; La continuité par morceaux ne suffit pas.

Q: Proposition (séparation de l'intégrale, reformulation).
Si \(f : I \to \mathbb{R}\) est [...]
alors :
\[ \int_I f > 0.\]
[...]
A: continue, positive, et non identiquement nulle,; La continuité par morceaux ne suffit pas.

Q: Proposition (inégalité triangulaire).
L'inégalité entre
\[ \int_I f\textrm{ et }\int_I |f| \]
est :
[...]
A: \[ \left|\int_I f\right|\leqslant \int_I |f|\]

Q: Théorème fondamental de l'analyse.
Soit \(f : [a,b] \to \mathbb{C}\) une application continue sur \([a,b]\). Alors l'application
\[
F : x \mapsto \int_a^x f
\]
[...]
C'est l'unique [...] qui [...] en \(a\).
A: est de classe \(\mathrm{C}^1\) sur \([a,b]\), et : \(F' = f\).; primitive de \(f\); s'annule

Q: Démonstration de cours (inégalité des accroissements finis grâce à l'intégration).
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathrm{C}^1\).
Soit : \(M = \max\limits_{[a,b]}(|f'|)\).
Pour montrer :\[
|f(b)-f(a)|\leqslant M(b-a),
\]
- On utilise [...] pour écrire :
\[ f(b) - f(a) = [...]\]
- On en déduit :
\[ |f(b) - f(a)| \leqslant [...] = M(b-a).\]
A: le théorème fondamental de l'analyse; \int_a^b f'(x) \mathrm{d} x; \int_a^b |f'(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_a^b M\mathrm{d} x

Q: Exemple classique.
Pour calculer \(\displaystyle\int_1^x \ln(t)\mathrm{d} t\) :
On [...]On en déduit :\[ \int_1^x \ln(t) \mathrm{d} t = [...] = x\ln(x)-x+1.\]
A: intègre par parties en
- dérivant \(t \mapsto \ln(t)\);
- intégrant \(t \mapsto 1\).; \left[t\ln(t)\right]_1^x - \int_1^x \mathrm{d} t

Q: Formule du changement de variable sur un segment.
Soient \(f : [a,b] \to \mathbb{C}\) une application continue
et \(\varphi: [\alpha,\beta]\to \mathbb{R}\) une application [...] telle que \(\varphi([\alpha,\beta]) \subseteq [a,b]\).
Alors :
\[\int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x) \mathrm{d} x = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)\mathrm{d} u. \]
A: de classe \(\mathrm{C}^1\)

Q: Sommes de Riemann.
La somme des aires des rectangles ci-dessous est la somme de Riemann de pas \(n\) de \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) :
Compléter la figure pour retrouver l'expression de :
\[ S_n(f) = \sum_{k=0}^{n-1}\left(\textrm{aire du }k^e\textrm{ rectangle}\right) = \cdots . \]
A: \[S_n(f) =  \sum_{k=0}^{n-1}\left(\textrm{base}\right) \times \left(\textrm{hauteur du }k^e\textrm{ rectangle}\right) = \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).\]

Q: Proposition (limite d'une somme de Riemann).
Soit \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) une application continue. Alors :
\[
\lim_{n \to +\infty} S_n(f) = \lim_{n \to +\infty} [...] = [...].
\]
A: \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right); \int_a^b f(x)\mathrm{d} x

Q: Passage obligé.
Soient \(m,n \in \mathbb{R}\), tels que \(m\neq n\).
Pour calculer :
\[ \int_I \cos(mx)\cos(nx)\mathrm{d} x , \]
[...]
et on intègre.
A: on linéarise le produit de cosinus :
\[ \cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}\left(\cos((m+n)x)+\cos((m-n)x)\right) \]

Q: Passage obligé (intégrale de fraction rationnelle 1).
Soient \(P,Q\in \mathbb{R}[X]\).
Pour calculer \(\displaystyle \int_I \frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d} x\) :
- On [...]
- Les termes de la forme \(\displaystyle \frac{\alpha}{(a x+b)^n}\) [...] une primitive est
\[ [...].\]
- Pour les termes de la forme
\[ \frac{\alpha x + \beta}{a x^2+b x + c} \]
voir la fiche consacrée.
A: décompose en éléments simples.; se mettent sous la forme \(\dfrac{u'}{u^n}\):; \ln(|u|)\ \textrm{ (si }n=1\textrm{) ou } \ -\frac{1}{n-1}\frac{1}{u^{n-1} }

Passage obligé (intégrale de fraction rationnelle 2).
Pour trouver une primitive de
\[\displaystyle x \mapsto \frac{\alpha x+\beta}{a x^2+b x +c } :\]
- On met sous forme canonique : \(\displaystyle\frac{\alpha x + \beta}{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}.\)
- Quitte à réarranger le numérateur, et à factoriser par \(c-\frac{b^2}{4a}\),
on fait apparaître une somme de termes de la forme :
\[ \frac{u'}{u} \textrm{ ou } \frac{u'}{u^2+1} \textrm{ ou } \frac{u'}{u^2-1} . \]
- Dans le cas 1, une primitive est \(\ln(|u|)\).
- Dans le cas 2, une primitive est \(\arctan(u)\).
- Dans le cas 3, on décompose en éléments simples, une primitive est alors \(\frac{1}{2}\ln\left(\left|\frac{u-1}{u+1}\right|\right)\).

Q: Passage obligé.
Pour calculer :
\[ \int_I P(x)e^{ax}\mathrm{d} x  \textrm{ avec }P\textrm{ polynôme}, \]
on [...]
A: intègre par parties autant de fois que le degré de \(P\), en dérivant à chaque fois le terme polynomial,
pour se ramener à l'intégrale :
\[ \int_I e^{ax}\mathrm{d} x. \]

Q: Passage obligé.
Pour calculer
\[ \int_I P(x)\cos(ax)\mathrm{d} x\textrm{ ou } \int_I P(x)\sin(ax)\mathrm{d} x \textrm{ avec }P\textrm{ polynôme} :\]
- On calcule l'intégrale suivante, [...]
- On prend ensuite [...]
A: en intégrant par parties plusieurs fois :
\[ \int_I P(x)e^{iax}\mathrm{d} x\]; la partie réelle ou la partie imaginaire, selon qu'on ait un cosinus ou sinus.

Q: \[
\int^x [...] = [...].
\]
A: \frac{\mathrm{d}t}{t^2+1}; \mathrm{arctan}(x)+c

Q: \[
\forall a > 0,\quad \int^x [...]=[...].
\]
A: \frac{\mathrm{d}t}{t^2+a^2}; \frac{1}{a}\mathrm{arctan}\left(\frac{x}{a}\right)+c

Q: \(f\) fonction paire :
\[
\int_{-a}^a f = [...]
\]
A: 2\int_0^a f.

Q: \(f\) fonction impaire :
\[
\int_{-a}^a f = [...]
\]
A: 0.

Q: \(f\) fonction \(T\)-périodique :
\[
\int_{a}^{a+T} f = [...]
\]
A: \int_0^T f.

Q: Vrai ou faux.
Si \(f\) est \(T\)-périodique :
\[
\int_0^T f = 0.
\]
A: C'est archi-faux.
Deux contre-exemples :
\[
\int_0^1 1\mathrm{d}x = 1 \neq 0,\quad \int_0^\pi (\cos(x))^2\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \neq 0.
\]

Q: \[
\forall a \in \mathbb{R}_+,\quad \int_0^1 x^a\mathrm{d}x = [...]
\]
A: \frac{1}{a+1}.

Q: \[
\forall a \in \mathbb{C}\setminus \{-1\},\quad \int^x [...] = [...].
\]
A: t^a\mathrm{d}t; \frac{x^{a+1} }{a+1} + c

Q: \[
\int^x [...] = [...].
\]
A: t^{-1}\mathrm{d}t; \ln(x) + c

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \sin(t)\mathrm{d}t; -\cos(x)+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \cos(t)\mathrm{d}t; \sin(x)+c.

Q: Intégration par parties.
Soient \(f,g : [a,b] \to \mathbb{C}\) deux applications [...].
\[\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)\mathrm{d} x = [...].\]
A: de classe \(\mathrm{C}^1\) sur \([a,b]\); [f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)\mathrm{d} x

Q: Changement de variable (avec \(f\) continue par morceaux).
Soient \(f : [a,b] \to \mathbb{C}\) une application continue par morceaux
et \(\varphi: [\alpha,\beta]\to [a,b]\) une application [...]
Alors :
\[[...] = [...].\]
A: strictement monotone et de classe \(\mathrm{C}^1\).; \int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x) \mathrm{d} x; \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)\mathrm{d} u

Q: Changement de variable (avec \(f\) continue).
Soient \(f : [a,b] \to \mathbb{C}\) une application continue
et \(\varphi: [\alpha,\beta]\to [a,b]\) une application [...]
Alors :
\[[...] = [...].\]
A: de classe \(\mathrm{C}^1\).; \int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x) \mathrm{d} x; \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)\mathrm{d} u

Q: Calcul de :
\[
\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\quad ?
\]
A: Avec le changement de variable \(x = \sin(\theta)\) (ou \(\theta = \arcsin(x)\)) :
\[
\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin(\theta)^2}\cos(\theta)\mathrm{d}\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta)^2\mathrm{d}\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{2}.
\]

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \cosh(t)\mathrm{d}t; \sinh(x)+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \sinh(t)\mathrm{d}t; \cosh(x)+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: e^t\mathrm{d}t; e^x+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \ln(t)\mathrm{d}t; x\ln(x)-x+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \tan(t)\mathrm{d}t; -\ln\left(|\cos(x)|\right)+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2} }; \arcsin(x)+c.

Q: \[
\int^x [...] = [...]
\]
A: \tanh(t)\mathrm{d}t; \ln\left(|\cosh(x)|\right)+c.